Práctica 1 - Física 2 Calores específicos


Esta práctica consistirá en determinar los calores específicos de diferentes sustancias. El material proporcionado es el siguiente:

Los objetivos de la prática para las sustancias de Cobre, Hierro, Aluminio y Agua:

Determinar el calor específico

Nuestra situación es la siguiente, tenemos una fuente de alimentación que nos proporciona un calor, y medimos como varía la temperatura de diferentes sustancias. Pero, ¿Cómo determinamos el calor específico?

La capacidad calorífica \(C_e\) se define como

$$ C_e = \frac{Q}{m \cdot \Delta T} \quad \frac{[Cal]}{[g \cdot K]} $$

Siendo:

Por otro lado, en la fuente de alimentación, se define potencia instantanea cómo:

$$ P = V \cdot I \quad [W] $$

Siendo:

Igualmente se define la potencia calorífica, que es la cantidad de calor que libera por unidad de tiempo, como:

$$ P = \frac{E}{t} \quad [W] $$

Siendo:

Juntando lo anterior, podemos igualar las potencias instantaneas para conseguir la potencia calorífica:

$$ E = P \cdot t = V \cdot I \cdot t \quad [J] $$

El calor es una forma de trabajo, es decir que podemos igualar la potencia calorífica (E) con el Calor proporcionado (Q). Tenemos que tener cuidado porque la potencia calorífica(E) está expresada en Julios y el Calor (Q) está expresado en calorias (Cal). Dicho esto, igualamos las expresiones de potencia calorífica y calor:

$$ E \Rightarrow Julios \qquad Q \Rightarrow Cal $$
$$ Q = E \cdot \frac{1}{4.18} = V \cdot I \cdot t \cdot \frac{1}{4.18} \quad [Cal] \\ m \cdot C_e \cdot \Delta T = V \cdot I \cdot t \cdot \frac{1}{4.18} $$

Y finalemente llegamos a que:

$$ C_e = \frac{V \cdot I \cdot t}{4.18} \cdot \frac{1}{m \cdot \Delta T} = \frac{V \cdot I \cdot t}{4.18} \cdot \frac{1}{m \cdot (T_{final} - T_{inicial})} \quad \frac{[Cal]}{[g \cdot K]} $$

Para calcular el calor específico necesitaremos el voltaje, la intensidad, el tiempo, la masa y la variación de temperatura, es decir, todas las variables son conocidas.

Cálculo de errores

Para calcular el error que se comete en las medidas hay que ver el error absoluto de los diferentes aparatos:

El error absoluto de una función que dependen de varias magnitudes independientes \(x_1, x_2, x_3, …\) de una función: \(y = f(x_1, x_2, x_3, …)\), se calcularía así:

$$ \Delta y = \Bigg \lvert \frac{\delta y}{\delta x_1} \Bigg \lvert \Delta x_1 + \Bigg \lvert \frac{\delta y}{\delta x_2} \Bigg \lvert \Delta x_2 + ... $$

Para calcular el error absoluto del calor específico se haría así:

$$ C_e = \frac{V \cdot I \cdot t}{4.18} \cdot \frac{1}{m \cdot (T_{final} - T_{inicial})} \quad \frac{[Cal]}{[g \cdot K]} \\ \Delta C_e = \Bigg \lvert \frac{\delta C_e}{\delta V} \Bigg \lvert \Delta V + \Bigg \lvert \frac{\delta C_e}{\delta I} \Bigg \lvert \Delta I + \Bigg \lvert \frac{\delta C_e}{\delta t} \Bigg \lvert \Delta t + \Bigg \lvert \frac{\delta C_e}{\delta m} \Bigg \lvert \Delta m + \Bigg \lvert \frac{\delta C_e}{\delta T_{inicial}} \Bigg \lvert \Delta T + \Bigg \lvert \frac{\delta C_e}{\delta T_{final}} \Bigg \lvert \Delta T \\ = \Bigg \lvert \frac{I \cdot t}{4.18 \cdot m \cdot (T_{final} - T_{inicial})}\Bigg \lvert \Delta V + \Bigg \lvert \frac{V \cdot t}{4.18 \cdot m \cdot (T_{final} - T_{inicial})}\Bigg \lvert \Delta I \\+ \Bigg \lvert \frac{V \cdot I}{4.18 \cdot m \cdot (T_{final} - T_{inicial})}\Bigg \lvert \Delta t + \Bigg \lvert \frac{V \cdot I \cdot t}{4.18 \cdot m^2 \cdot (T_{final} - T_{inicial})}\Bigg \lvert \Delta m \\+ \Bigg \lvert \frac{V \cdot I \cdot t}{4.18 \cdot m \cdot (T_{final} - T_{inicial})^2}\Bigg \lvert \Delta T + \Bigg \lvert \frac{V \cdot I \cdot t}{4.18 \cdot m \cdot (T_{final} - T_{inicial})^2}\Bigg \lvert \Delta T \quad \frac{[Cal]}{[g \cdot K]} $$

Siendo:

Agua

Planteamiento

Primero vamos a empezar con el agua. Los pasos seguidos han sido: 1. Primero cogemos el vaso de precipitado y lo llenamos de agua del grifo. Lo llenamos con unos 400 ml. 2. Introducimos la barra metálica de la fuente de alimentación y el termómetro. 3. Encendemos el agitador para asegurarnos de que la temperatura será constante en todo el recipiente. 2. Encendemos la fuente de alimentación y la ponemos a 11 Voltios a 2.90 Amperios. 3. Tomamos los valores de temperatura cada 30 segundos.

En las primeras iteraciones del experimento pudimos notar que el agua varía de temperatura muy lenta, del órden de 0.3ºC/0.5ºC. Por lo que tomar valores cada 30 segundos sería más que suficiente. Además, tendremos que tener el experimento el tiempo suficiente cómo para que la variación de temperatura sea grande, esta variación debería de ser de 20ºC a 50ºC para tener una gama amplia de datos.

La temperatura del agua del grifo inicialmente es de 23.3ºC, y el agua empieza a hervir a los 90ºC. Con lo que un buen volumen de datos sería llegar a los 40ºC/ 50ºC.

Realización

Al realizar la prueba, cogimos datos durante 870 segundos desde una temperatura inicial de 23.3ºC hasta los 35.7ºC. Los datos obtenidos se encuentran aquí. Su gráfica de Calor (con la regresión lineal por ajuste de mínimos cruadrados visto más abajo y los errores de cada lectura) frente a temperatura, utilizando esta expresión, sería la siguiente:

La gráfica presenta un leve curva al principio, la inclinación del inicio se debe a que el calentador está todavía calentando el metal y eso hace que la inclinacón sea menor y no tan constante como en la demás parte de la recta. Esto se solucionaría eliminando los primeros valores, pues no determinan bien la variación de temperatura. Además nos encontramos con otro problema y es que la gráfica no es excesivamente recta, cuando debería de ser lineal. El problema se debe a que el volumen de datos obtenidos es un poco escaso, con lo que deberían de ser más datos.

Ajuste por mínimos cuadrados

Al ser una relación aparentemente lineal podremos aproximarlo a una recta de la forma:

$$ Y = mX + c $$

Donde m se denomina pendiente y c ordenada en el origen.

Para obtener dicha función usaremos el método de mínimos cuadrados, que nos permite obtener la recta que más se aproxima a dichos puntos. La pendiente y la ordenada en el origen de dicha recta vienen dadas por las siguientes expresiones:

$$ m = \frac{E}{D} \qquad c = \bar{Y} - m \bar{X} $$

En donde:

$$ E = \Bigg ( \sum_{i = 1}^{n} X_i Y_i \Bigg ) - n \bar{X} \bar{Y} \qquad D = \Bigg ( \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2} \Bigg ) - n \bar{X}^{2} $$

Siendo

$$ \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_i \qquad \bar{Y} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} Y_i $$

Operando con los resultados obtenidos llegamos a que la pendiente es \(m = 190\cdot 10^{-5} \quad \frac{[°C]}{[Cal]}\) y la ordenada en el origen es \(c = 23.13 \quad [°C]\). Se queda tal que:

$$ Y = 190\cdot 10^{-5}X + 23.13 \quad [°C] $$

Para calcular el error cuadrático medio de la pendiente m se calcula así:

$$ \Delta m \cong \sqrt{\frac{A}{\sum_{i = 1}^{n} (D_i^2)}} $$

Donde

$$ A = \frac{\sum_{i = 1}^{n} d_i^2}{n - 2} \qquad d_i = Y_i - m X_i - c \\ \sum_{i = 1}^{n} (D_i^2) = \sum_{i = 1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 $$

Operando llegamos a que:

$$ \Delta m = 1.0\cdot 10^{-5} \quad \frac{[°C]}{[Cal]} $$

Es decir, un error muy pequeño, los resultados se aproximan mucho a la linea, es casi lineal.

Cálculo del calor específico con sus errores absolutos

Antes calculamos la expresión para determinar el calor específico (\(C_e\)) y su error absoluto (\(\Delta C_e\)). Para calcular dicha expresión, substituimos con los valores (también antes mencionados) y nos sale:

$$ C_e = \frac{V \cdot I \cdot t}{4.18} \cdot \frac{1}{m \cdot (T_{final} - T_{inicial})} \\ = \frac{11 \cdot 2.9 \cdot 870}{4.18} \cdot \frac{1}{400 \cdot (310.85 - 298.4)} = 1,33 \quad \frac{[Cal]}{[g \cdot K]} \\ \Delta C_e = \Bigg \lvert \frac{\delta C_e}{\delta V} \Bigg \lvert \Delta V + \Bigg \lvert \frac{\delta C_e}{\delta I} \Bigg \lvert \Delta I + \Bigg \lvert \frac{\delta C_e}{\delta t} \Bigg \lvert \Delta t + \Bigg \lvert \frac{\delta C_e}{\delta m} \Bigg \lvert \Delta m + \Bigg \lvert \frac{\delta C_e}{\delta T_{inicial}} \Bigg \lvert \Delta T + \Bigg \lvert \frac{\delta C_e}{\delta T_{final}} \Bigg \lvert \Delta T \\ = \Bigg \lvert \frac{2.9 \cdot 870}{4.18 \cdot 400 \cdot (310.85 - 298.4)}\Bigg \lvert 0.1 + \Bigg \lvert \frac{11 \cdot 870}{4.18 \cdot 400 \cdot (310.85 - 298.4)}\Bigg \lvert 0.01 \\+ \Bigg \lvert \frac{11 \cdot 2.9}{4.18 \cdot 400 \cdot (310.85 - 298.4)}\Bigg \lvert 0.01 + \Bigg \lvert \frac{11 \cdot 2.9 \cdot 870}{4.18 \cdot 400^2 \cdot (310.85 - 298.4)}\Bigg \lvert 50 \\+ \Bigg \lvert \frac{11 \cdot 2.9 \cdot 870}{4.18 \cdot 100 \cdot (310.85 - 298.4)^2}\Bigg \lvert \Delta 0.1 + \Bigg \lvert \frac{11 \cdot 2.9 \cdot 870}{4.18 \cdot 100 \cdot (310.85 - 298.4)^2}\Bigg \lvert \Delta 0.1 = 0.19 \quad \frac{[Cal]}{[g \cdot K]} $$

El resultado es que el calor específico (\(C_e\)) tiene un valor de \(C_e = 1,33 \pm 0.23 \frac{[Cal]}{[g \cdot K]}\). El error que tiene es del 6%, un error normal si tenemos en cuenta que el material utilizado no es extremadamente preciso. El principal generador de este error es el vaso de precipitado, que al tener una marca cada 50 ml su error absoluto es de \(\pm 50\) ml, y esto hace que el error aumente considerablemente. Para hacer que el resultado sea más preciso se tendría que utilizar un vaso de precipitado más preciso.

En ese caso hemos cogido el valor incial y final de temperatura, que es un poco ficticio pues al principio el calentador se estaba calentando. Para solucionarlo podemos coger dos valores con la función de ajuste por mínimos cuadrados:

$$ Y = 190\cdot 10^{-5}X + 23.13 \quad [°C] \\ Y(0) = 0 + 23.13 = 23.13 \quad [°C] \\ Y(11 \cdot 2.9 \cdot 870 \cdot (1/4.18)) = 190\cdot 10^{-5} \cdot 6639.47 + 23.13 = 35.76 \quad [°C] $$

Con la temperatura inicial de \(T{inicial} = 23.13\) ºC y la temperatura final de \(T{final} = 35.76\) ºC nos saldría:

$$ C_e = 1.33 \quad \frac{[Cal]}{[g \cdot K]} $$

Que es el mismo valor que hemos obtenido anteriormente porque la recta por mínimos cuadrados es muy próxima a los valores obtenidos en la práctica.

El calor específico del agua según wikipedia tiene un valor de \(C_e = 1\frac{[Cal]}{[g \cdot K]}\) que difirere un poco del nuestro. Esto se debe a que hay una pérdida considerable de calor porque estamos utilizando un vaso de precipitado. Esto hace que le cueste más trabajo subir la temperatura y por consiguiente afecta al calor específico. Para solucionarlo se podría utilizar un recipiente con mayor aislamiento térmico.

Cobre

Planteamiento

Los pasos seguidos con el el cobre han sido los mismos que para el del agua:

  1. Introducimos la barra metálica de la fuente de alimentación y el termómetro en el recipiente del cobre.
  2. Encendemos la fuente de alimentación y la ponemos a 11 voltios a 2.9 amperios.
  3. Tomamos los valores de temperatura cada 30 segundos.

La masa utilizada es la que viene marcada de \(m = 1007.6 \pm 0.1 \quad g\).

Realización

Cogimos datos durante 570 segundos, desde una temperatura inicial de 28.0 ºC hasta una temperatura final de 61.2 ºC. Los datos obetenidos se encuentran aquí. Su gráfica de Calor frente a temperatura, utilizando esta expresión.

Al igual que antes, al principio de la curva hay una desviación provocada porque el calentador se está calentado. Por lo general los valores se aproximan mucho a la recta de la regresión lineal, es casi lineal los resultados obtenidos.

Ajuste por mínimos cuadrados

Con las expresiones anteriores llegamos a los siguientes resultados de la regresión lineal:

$$ Y = 793.8 \cdot 10^{-5} \cdot X + 26.99 \quad [ºC] \\ \Delta m = 5.7 \cdot 10^{-5} \quad \frac{[ºC]}{[Cal]} $$

El error es muy pequeño, los resultados se aproximan mucho a la recta. Esto nos indica que los resultados obtenidos son correctos.

Cálculo de calor específico con sus errores absolutos

Con las expresiones anteriores llegamos a los siguientes resultados de Calor específico y su error:

$$ C_e = \frac{V \cdot I \cdot t}{4.18} \cdot \frac{1}{m \cdot (T_{final} - T_{inicial})} \\ = \frac{11 \cdot 2.9 \cdot 570}{4.18} \cdot \frac{1}{1007.6 \cdot (336.3 - 303.1)} = 0.13 \quad \frac{[Cal]}{[g \cdot K]} \\ \Delta C_e = \Bigg \lvert \frac{\delta C_e}{\delta V} \Bigg \lvert \Delta V + \Bigg \lvert \frac{\delta C_e}{\delta I} \Bigg \lvert \Delta I + \Bigg \lvert \frac{\delta C_e}{\delta t} \Bigg \lvert \Delta t + \Bigg \lvert \frac{\delta C_e}{\delta m} \Bigg \lvert \Delta m + \Bigg \lvert \frac{\delta C_e}{\delta T_{inicial}} \Bigg \lvert \Delta T + \Bigg \lvert \frac{\delta C_e}{\delta T_{final}} \Bigg \lvert \Delta T \\ = 1.67 \cdot 10^{-3} \quad \frac{[Cal]}{[g \cdot K]} $$

Si lo comparamos con el valor de wikipedia, que es de \(C_e = 0.09 \quad \frac{[Cal]}{[g \cdot K]}\), vemos que el error no es tanto si tenemos en cuenta que el material de laboratorio utilizado no es totalmente preciso. Al igual que antes podemos ver con el resultado, en este caso menos, hay una perdida de calor por lo que le cuesta más trabajo subir de temperatura y eso se aprecia en el calor específico.

Aluminio

Planteamiento

Los pasos seguidos han sido iguales a los del cobre.

En este caso la fuente de alimentación estaba a 11 voltios a 2.9 amperios. El aluminio tenía una masa de \( m = 949.6 \pm 0.1 g\). Igualmente tomamos una lectura cada 30 segundos.

Realización

Cogimos datos durante 540 segundos, desde una temperatura incial de 23.6ºC hasta una temperatura final de 38.6 ºC. Los datos obetenidos se encuentran aquí. Su gráfica de Calor frente a temperatura, utilizando esta expresión.

Ajuste por mínimos cuadrados

Con las expresiones anteriores llegamos a los siguientes resultados de la regresión lineal:

$$ Y = 37.2 \cdot 10^{-4} \cdot X + 23.45 \quad [ºC] \\ \Delta m = 0.3 \cdot 10^{-4} \quad \frac{[ºC]}{[Cal]} $$

Cálculo de calor específico con sus errores absolutos

Con las expresiones anteriores llegamos a los siguientes resultados de Calor específico y su error:

$$ C_e = \frac{V \cdot I \cdot t}{4.18} \cdot \frac{1}{m \cdot (T_{final} - T_{inicial})} \\ = \frac{11 \cdot 2.9 \cdot 540}{4.18} \cdot \frac{1}{949.6 \cdot (313.7 - 298.7)} = 0.30 \quad \frac{[Cal]}{[g \cdot K]} \\ \Delta C_e = \Bigg \lvert \frac{\delta C_e}{\delta V} \Bigg \lvert \Delta V + \Bigg \lvert \frac{\delta C_e}{\delta I} \Bigg \lvert \Delta I + \Bigg \lvert \frac{\delta C_e}{\delta t} \Bigg \lvert \Delta t + \Bigg \lvert \frac{\delta C_e}{\delta m} \Bigg \lvert \Delta m + \Bigg \lvert \frac{\delta C_e}{\delta T_{inicial}} \Bigg \lvert \Delta T + \Bigg \lvert \frac{\delta C_e}{\delta T_{final}} \Bigg \lvert \Delta T \\ = 3.67 \cdot 10^{-3} \quad \frac{[Cal]}{[g \cdot K]} $$

Si lo comparamos con el valor de wikipedia, que es de \(C_e = 0.21 \quad \frac{[Cal]}{[g \cdot K]}\), nos ocurre igual que en los casos anteriores.

Hierro

Planteamiento

Los pasos seguidos han sido igual que los del cobre.

En este caso la fuente de alimentación estaba a 11 voltios a 2.9 amperios. El Hierro tenía una masa de \( m = 615.2 \pm 0.1 g\). Igualmente tomamos una lectura cada 30 segundos.

Realizacion

Cogimos datos durante 600 segundos, desde una temperatura incial de 33.3ºC hasta una temperatura final de 78.5 ºC. Los datos obetenidos se encuentran aquí. Su gráfica de Calor frente a temperatura, utilizando esta expresión.

Ajuste por mínimos cuadrados

Con las expresiones anteriores llegamos a los siguientes resultados de la regresión lineal:

$$ Y = 101.1 \cdot 10^{-4} \cdot X + 33.0 \quad [ºC] \\ \Delta m = 0.3 \cdot 10^{-4} \quad \frac{[ºC]}{[Cal]} $$

Cálculo de calor específico con sus errores absolutos

$$ C_e = \frac{V \cdot I \cdot t}{4.18} \cdot \frac{1}{m \cdot (T_{final} - T_{inicial})} \\ = \frac{11 \cdot 2.9 \cdot 600}{4.18} \cdot \frac{1}{615.2 \cdot (353.6 - 308.4)} = 0.16 \quad \frac{[Cal]}{[g \cdot K]} \\ \Delta C_e = \Bigg \lvert \frac{\delta C_e}{\delta V} \Bigg \lvert \Delta V + \Bigg \lvert \frac{\delta C_e}{\delta I} \Bigg \lvert \Delta I + \Bigg \lvert \frac{\delta C_e}{\delta t} \Bigg \lvert \Delta t + \Bigg \lvert \frac{\delta C_e}{\delta m} \Bigg \lvert \Delta m + \Bigg \lvert \frac{\delta C_e}{\delta T_{inicial}} \Bigg \lvert \Delta T + \Bigg \lvert \frac{\delta C_e}{\delta T_{final}} \Bigg \lvert \Delta T \\ = 2.1 \cdot 10^{-3} \quad \frac{[Cal]}{[g \cdot K]} $$

Si lo comparamos con el valor de wikipedia, que es de \(C_e = 0.11 \quad \frac{[Cal]}{[g \cdot K]}\), nos ocurre igual que en los casos anteriores.

Conclusiones

Sustancia \(C_e \quad [Cal]/[g \cdot K]\) \(\Delta C_e \quad [Cal]/[g \cdot K]\) Regresión lineal [ºC] Error regresión lineal \((\Delta m \quad [ºC][Cal])\)
Agua \(1.33\) \(0.23\) \(Y = 190\cdot 10^{-5}X + 23.13\) \(1.0\cdot 10^{-5}\)
Cobre \(0.13\) \(1.67 \cdot 10^{-3}\) \(Y = 793.8 \cdot 10^{-5} \cdot X + 26.99\) \(5.7 \cdot 10^{-5}\)
Aluminio \(0.30\) \(3.67 \cdot 10^{-3}\) \(Y = 37.2 \cdot 10^{-4} \cdot X + 23.45\) \(0.3 \cdot 10^{-4}\)
Hierro \(0.16\) \(2.1 \cdot 10^{-3}\) \(Y = 101.1 \cdot 10^{-4} \cdot X + 33.0\) \( 0.3 \cdot 10^{-4}\)

Los resultados obtenidos se ciñen a la realidad tomando en cuenta que el material utilizado no es el muy preciso. Los resultados delatan que hay una pérdida considerable de calor porque los recipientes utilizados no están aislados térmicamente. Esto hace que le cueste más trabajo subir la temperatura y por consiguiente afecta al calor específico. Para solucionarlo se podría utilizar un recipiente con mayor aislamiento térmico.

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Bibliografía